Ισορροπία - περιστροφή - ελαστική κρούση και ταλάντωση

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ = 2R και μάζας  Μρ = 3m , έχει στο ένα της άκρο στερεωμένο σημειακό σφαιρίδιο Σ1 μάζας  m1 = m = (1/20) kg,  και είναι κολλημένη στο επίπεδο μιας τροχαλίας  Τ μάζας Μ = 4m και ακτίνας  R = (1/20) m , όπως φαίνεται στο σχήμα,  όπου Ο , είναι το κέντρο της τροχαλίας. Το σύστημα των τριών αυτών σωμάτων , μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές , γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο κατακόρυφο επίπεδο της τροχαλίας,  και διέρχεται από το κέντρο της Ο.

Αρχικά,  το σύστημα ηρεμεί σε ισορροπία,  με τη βοήθεια οριζόντιου αβαρούς και ανελαστικού  νήματος ΑΒ,  που έχει το ένα του άκρο Α δεμένο στο ανώτερο σημείο της τροχαλίας, και το άλλο Β,  σε κατακόρυφο τοίχο.

Α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.

Β. Κόβουμε το νήμα.  Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω μεγεθών αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος:

Β1. γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος

Β2. μέτρο  του ρυθμού  μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου Σ1.

Γ. Τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια,  το σφαιρίδιο Σ1 χτυπά πάνω σε σημειακή σφαίρα  Σ2  μάζας m2= 10m  που  ηρεμεί σε ισορροπία,  δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.

Αν η κρούση το συστήματος με τη σφαίρα  Σ2 είναι ελαστική ,  διαρκεί αμελητέο χρόνο,  και μετά απ’ αυτήν , η φορά περιστροφής του συστήματος των τριών σωμάτων  αντιστρέφεται , να υπολογίσετε:

Γ1. Τη γραμμική ταχύτητα του σφαιριδίου Σ1 ακριβώς πριν την κρούση.

Γ2. Τη γραμμική ταχύτητα του σφαιριδίου Σ1  και την ταχύτητα της σφαίρας  Σ2 , αμέσως μετά την κρούση.

Δ. Μετά την κρούση,  το σύστημα των τριών σωμάτων συγκρατείται ακίνητο στην ανώτερη θέση που φτάνει, ενώ το σύστημα ελατήριο - σφαίρα Σ2 , κάνει απλή αρμονική ταλάντωση , χωρίς αρχική φάση.

Να υπολογίσετε:

Δ1. Την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την ταλάντωση αυτή

Δ2, Τη  μεταβολή της στροφορμής της   σφαίρας Σ2 ως προς το Ο , από τη χρονική στιγμή  t = 0 μέχρι την  t = T/2 , όπου Τ η περίοδος  της ταλάντωσης.

Δίνονται  οι ροπές αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής  της ράβδου Ιρ = Μρℓ²/3  και της τροχαλίας Ι_Τ = ΜR²/2 , g = 10m/s²  και η γωνία θ =60^ο. 

Απάντηση ΕΔΩ